☛* Solution ou pas ?

Énoncé

1. \(5\) est-il une solution de l'équation \(3x^2-x+1=0\) ?
2. \(\dfrac{2}{3}\) est-il une solution de l'équation \(9x^2-4=0\) ?
3. \(-3\) est-il une solution de l'inéquation \((2x-1)(x+2)<11\) ?
4. \(\dfrac{1}{2}\) est-il une solution de l'inéquation \((x+3)^2\leq5(x+3)(x-2)\) ?

Solution

1. \(3\times 5^2-5+1=3\times 25-4=75-4=71\). 
\(71 \neq0\) donc \(5\) n'est pas une solution de cette équation.
2. \(9\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4=9\times \dfrac{4}{9}-4=4-4=0\) donc \(\dfrac{2}{3}\) est une solution de cette équation.
3. \((2\times (-3)-1)(-3+2)=-7\times (-1)=7\). 
\(7<11\) donc \(-3\) est une solution de cette inéquation.
4. L'inéquation s'écrit aussi \((x+3)^2-5(x+3)(x-2)\leq 0\)
\(\left(\dfrac{1}{2}+3\right)^2-5\left(\dfrac{1}{2}+3\right)\left(\dfrac{1}{2}-2\right)=\left(\dfrac{7}{2}\right)^2-5\times \dfrac{7}{2}\left(-\dfrac{3}{2}\right) \\ \quad =\dfrac{49}{4}+\dfrac{5\times 7\times 3}{4}=\dfrac{49+105}{4}=\dfrac{154}{4}=38,5\)
\(38,5>0\). Le résultat obtenue ne vérifie pas l'inégalité.
Par conséquent, \(\dfrac{1}{2}\) n'est pas une solution de l'inéquation.